Množina bodů daných vlastností

V geometrii je množina bodů daných vlastností sada všech bodů, které splňují určitou podmínku nebo skupinu podmínek – použitím takových množin můžeme vizualizovat a určit polohy bodů, které splňují specifická geometrická kritéria.

Abychom lépe porozuměli tomuto konceptu, vezměme si například kružnici – je to množina bodů ve stejné vzdálenosti od daného bodu. Podobně množina bodů stejně vzdálených od dvou přímek je přímka, která leží přesně mezi nimi. Totéž platí pro libovolnou elipsu; je to jednoduše množina bodů, kde součet vzdáleností od ohnisek je konstantní.

K nalezení jakékoli takové množiny musíme najít všechny body, které splňují dané podmínky. Konečným výsledkem bude množina bodů s tvarem, který se liší v závislosti na původních kritériích.

Pro aplikaci těchto množin v procesu řešení Apolloniova problému se zaměříme na podmínky, které musí splňovat střed kružnice, kterou hledáme. Tím, že nejprve najdeme množinu bodů splňujících pouze podmnožinu kritérií, a poté uděláme totéž pro jinou podmnožinu, přeměníme zdánlivě nemožný Apolloniův problém na lépe zvládnutelný úkol. Hledáme několik množin bodů a poté jejich průniky využijeme jako středy řešení problému. Tyto konečné průsečíky pak musí být množinou bodů vyhovujících počátečním podmínkám.

Jako příklad vyřešíme případ BKK se dvěma navzájem se neprotínajícími kružnicemi c a d libovolné velikosti a bodem A. K řešení problému použijeme následující fakta: Hyperbola je množina bodů, kde rozdíl vzdáleností k ohniskům je konstantní. Dále hledáme kružnici tečnou ke všem třem definovaným objektům, jak vyžaduje definice problému. Nyní k řešení:

1. Nakreslíme přímku procházející středy kružnic a bodem A.

2. Označíme střední body mezi bodem A a průsečíky našich kružnic s nově nakreslenou přímkou.

3. Sestrojíme hyperboly, které mají bod A a středy daných kružnic jako ohniska a procházejí novými středními body (K, J). Děláme to proto, že potřebujeme tečnost a chceme vytvořit množinu bodů, které mají stejný rozdíl vzdáleností k bodům A a C jako body K a J.

4. Sestrojíme kružnice, které mají středy v průsečících našich množin (hyperbol) a procházejí bodem A.

Níže si můžete prohlédnout postupy hledání množin bodů daných vlastností (stejné vzdálenosti) u různých kombinací dvou objektů: