Dvě protínající se kružnice, třetí leží uvnitř jedné z nich

Počet řešení: 4

ZPŮSOB ŘEŠENÍ

Množina bodů daných vlastností

Konstrukce v GeoGebře

Stáhnout GeoGebra soubor

Postup

0. Máme kružnice c, d a e, kde kružnice c leží uvnitř kružnice d.
1. Narýsujeme hyperboly g a q, na kterých leží středy kružnic, dotýkajících se kružnic c a e.
2. Narýsujeme elipsy p a t, na kterých leží středy kružnic, dotýkajícíh se kružnic c a d.
3. Najdeme průsečíky hyperbol a elips.
4. Najdeme spojnice průsečíků se středy zadaných kružnic.
5. Narýsujeme výsledné kružnice se středy v průsečících hyperbol a elips, kružnic se dotýkají v jejich průsečících se spojnicemi z bodu 5.
6. jednotlivé kružnice platí dle vzájemné polohy kružnic

ZPŮSOB ŘEŠENÍ

Dilatace, stejnolehlost

Konstrukce v GeoGebře

Stáhnout GeoGebra soubor

Postup

0. Jsou dány tři kružnice k₁, k₂ a k₃. Dvě z nich se protínají, třetí je uvnitř jedné z nich.
1. Nejprve budeme hledat řešení, která mají s kružnicí k₃ vnitřní dotyk. Úlohu budeme řešit pomocí dilatace. Představíme si, že hledané kružnice řešení se zmenší tak, že budou procházet středem S₃. Aby zůstal zachován dotyk mezi těmito kružnicemi a kružnicemi k₁ a k₂ musí se kružnice k₁ zmenšit a k₂ zvětšit o poloměr kružnice k₃.
2. Dilatací jsme si úlohu kkk změnili na úlohu Bkk, kde bodem je bod S₃ a kružnicemi jsou obrazy kružnic k₁ a k₂. Tuto úlohu budeme řešit pomocí kruhové inverze. Jako základní kružnici použijeme k₃ se středem S₃ (použít můžeme jakoukoliv kružnici se středem S₃, tak proč ne třeba k₃).
3. Obrazem dilatovaných řešení jsou společné tečny kružnic "k₁ ''" a "k₂ ''".
4. Nalezené tečny zobrazíme zpět v kruhové inverzi. Získané kružnice jsou dilatovanými obrazy hledaných řešení. Středy S₄ a S₇ jsou již středy hledaných řešení.
5. Obrazy kružnic k₄ a k₇ zvětšíme v dilataci o poloměr kružnice k₃. Tím získámě první dvě řešení úlohy.
6. Nalezli jsme dvě řešní úlohy, která mají s kružnicí k₃ vnitřní dotyk. Nyní postup zopakujeme pro nalezení řešení s vnějším dotykem.
7. Zatímco v předchozím případě se kružnice k₁ v dilataci zmenšovala a k₂ zvětšovala, tentokrát se bude naopak kružnice k₁ zvětšovat a kružnice k₂ zmenšovat.
8. Dilatované obrazy kružnic k₁ a k₂ zobrazíme v kruhové inverzi s hlavní kružnicí k₃.
9. Nalezneme společné tečny zobrazených kružnic.
10. Nalezené tečny zobrazíme zpět v kruhové inverzi. Jejich obrazy jsou zároveň dilatovanými obrazy hledaných řešení.
11. Kružnice k₅ ' a k₆ ' zmenšíme dilatací o poloměr kružnice k₃. Tím jsme získali obě řešení s vnějším dotykem ke kružnici k₃.
12. Celkově jsme nalezli čtyři řešení úlohy.