Dvě protínající se kružnice, třetí leží uvnitř jedné z nich

Postup

1. Zvolíme řídicí kružnici kruhové inverze. Její střed zvolíme v průsečíku zadaných kružnic.
2. V kruhové inverzi zobrazíme zadané objekty. Kružnice procházející středem řídicí kružnice se zobrazí jako přímky.
3. V zobrazení budeme hledat kružnice dotýkající se dvou přímek a kružnice. Kružnice řešení této úlohy budou obrazy řešení původní úlohy. Středy hledaných kružnic budou ležet na ose úhlu daného dvěma přímkami.
4. Dále využijeme čtyři stejnolehlosti, ve kterých se daná kružnice zobrazuje na kružnice řešení. V těchto stejnolehlostech se dané přímky zobrazují jako rovnoběžné tečny dané kružnice.
5. Průsečíky daných přímek se zobrazují na průsečíky tečen. Spojíme je přímkami. Průsečíky těchto přímek s danou kružnicí jsou body, které jsou jednak středy stejnolehlostí a jednak tečnými body dané kružnice s kružnicemi řešení.
6. Střed dané kružnice se ve stejnolehlostech zobrazuje do středů kružnic řešení. Tyto středy proto leží na přímkách procházejících středem dané kružnice a zároveň tečnými body. Středy hledaných kružnic jsou průsečíky těchto přímek s osou úhlu.
7. Nalezli jsme čtyři řešení úlohy v zobrazení.
8. Nalezené kružnice zobrazíme zpět v kruhové inverzi.
9. Úloha má čtyři řešení.

Postup

0. Jsou dány tři kružnice k₁, k₂ a k₃. Dvě z nich se protínají, třetí je uvnitř jedné z nich.
1. Nejprve budeme hledat řešení, která mají s kružnicí k₃ vnitřní dotyk. Úlohu budeme řešit pomocí dilatace. Představíme si, že hledané kružnice řešení se zmenší tak, že budou procházet středem S₃. Aby zůstal zachován dotyk mezi těmito kružnicemi a kružnicemi k₁ a k₂ musí se kružnice k₁ zmenšit a k₂ zvětšit o poloměr kružnice k₃.
2. Dilatací jsme si úlohu kkk změnili na úlohu Bkk, kde bodem je bod S₃ a kružnicemi jsou obrazy kružnic k₁ a k₂. Tuto úlohu budeme řešit pomocí kruhové inverze. Jako základní kružnici použijeme k₃ se středem S₃ (použít můžeme jakoukoliv kružnici se středem S₃, tak proč ne třeba k₃).
3. Obrazem dilatovaných řešení jsou společné tečny kružnic "k₁ ''" a "k₂ ''".
4. Nalezené tečny zobrazíme zpět v kruhové inverzi. Získané kružnice jsou dilatovanými obrazy hledaných řešení. Středy S₄ a S₇ jsou již středy hledaných řešení.
5. Obrazy kružnic k₄ a k₇ zvětšíme v dilataci o poloměr kružnice k₃. Tím získámě první dvě řešení úlohy.
6. Nalezli jsme dvě řešní úlohy, která mají s kružnicí k₃ vnitřní dotyk. Nyní postup zopakujeme pro nalezení řešení s vnějším dotykem.
7. Zatímco v předchozím případě se kružnice k₁ v dilataci zmenšovala a k₂ zvětšovala, tentokrát se bude naopak kružnice k₁ zvětšovat a kružnice k₂ zmenšovat.
8. Dilatované obrazy kružnic k₁ a k₂ zobrazíme v kruhové inverzi s hlavní kružnicí k₃.
9. Nalezneme společné tečny zobrazených kružnic.
10. Nalezené tečny zobrazíme zpět v kruhové inverzi. Jejich obrazy jsou zároveň dilatovanými obrazy hledaných řešení.
11. Kružnice k₅ ' a k₆ ' zmenšíme dilatací o poloměr kružnice k₃. Tím jsme získali obě řešení s vnějším dotykem ke kružnici k₃.
12. Celkově jsme nalezli čtyři řešení úlohy.

Postup

0. Máme kružnice c, d a e, kde kružnice c leží uvnitř kružnice d.
1. Narýsujeme hyperboly g a q, na kterých leží středy kružnic, dotýkajících se kružnic c a e.
2. Narýsujeme elipsy p a t, na kterých leží středy kružnic, dotýkajícíh se kružnic c a d.
3. Najdeme průsečíky hyperbol a elips.
4. Najdeme spojnice průsečíků se středy zadaných kružnic.
5. Narýsujeme výsledné kružnice se středy v průsečících hyperbol a elips, kružnic se dotýkají v jejich průsečících se spojnicemi z bodu 4.