Mocnost bodu ke kružnici

Mocnost bodu ke kružnici se v geometrii značí reálné číslo, které reflektuje relativní vzdálenost daného bodu od kružnice. Nejčastěji se značí m. Používá se nejčastěji v případech, kde je nutné pracovat s sečnami a tečnami kružnic. Jmenovitě mocnost bodu ke kružnice můžeme použít jako řešení Appoloniovy úlohy dvou bodů a přímky, kde se body nacházejí na stejné polorovině.

Definice mocnosti bodu ke kružnice zní:

m (M,k)=|MS|^2-r2

kde M je daný bod, k je daná kružnice o poloměru r a středu S.

Dle této definice již můžeme určit polohu bodu závisle na kružnici.

• Pokud je m (M, k) > 0 bod M se nachází vně kružnice.
• Pokud je m (M, k) < 0 bod M se nachází uvnitř kružnice.
• Pokud je m (M, k) = 0 bod M leží na kružnici.

Z tohoto vztahu lze vyjádřit další definici mocnosti bodu ke kružnici pomocí bodů ležících na kružnici, které s daným bodem tvoří na kružnici sečnu procházející jejím středem.

V případě, kde se M nachází vně kružnice, na které leží body A a B platí, že |MA|=|MS|+r a také, že |MB|=|MS|-r.

Když si původní definici m (M,k)=|MS|^2-r2 rozložíme na (|MS|+r)·(|MS|-r), můžeme do něj dosadit vztahy pro úsečky |MA| a |MB|, z čehož nám vzniká vztah: m (M,k)=|MA|·|MB|

V případě, že bod M leží uvnitř kružnice, pro úsečky platí, že |MA|=r+|MS| a |MB|=r-|MS|. První definici si proto přepíšeme jako m (M,k)=-(r^2-|MS|2) a po dosazení nám vzniká vztah: m (M,k)=-|MA|·|MB|

Tento vztah je však nedostačující, jelikož z něj není jasné, zda platí i pro úsečky, které středem kružnice neprocházejí. Důkaz však můžeme provést pomocí dalších dvou bodů, které leží na kružnici.

Z uvedené konstrukce vidíme, že trojúhelníky MAD a MBC jsou podobné, jelikož mají stejné dva vnitřní úhly. Z toho následně můžeme dle vztahu pro podobnost trojúhelníků vyvodit vztah |MA|∶|MC|=|MD|∶|MB| a tudíž |MA|·|MB|=|MD|·|MC|. Z tedy víme, že platí: m (M,k)=|MA|·|MB|=|MD|·|MC|

Tímto jsme si ověřili, že předešlý vztah platí pro všechny sečny kružnice k procházející bodem M.

Poslední definicí bodu ke kružnici je v případě, kde bodem M prochází tečna na kružnici k.

Z konstrukce vidíme, že |ST|=r a že s úsečkou |MS| vytváří pravoúhlý trojúhelník. Následně můžeme podle Pythagorovy věty vyvodit vztah pro |MT|: |MT|^2=|MS|2-r^2

Nakonec jen dosadíme do vztahu první definici mocnosti bodu z čehož nám vzniká: m (M,k)=|MT|^2

Abychom všechny vztahy na závěr shrnuli do jedné, mocnost bodu ke kružnici je definována dle následujícího vztahu: m (M,k)=|MA|·|MB|=|MD|·|MC|=|MT|^2