Dilatace

Dilatace v geometrii je, formálně řečeno, orientované kontaktní zobrazení v rovině. Jde o typ transformace, při kterém se přímka posouvá o libovolnou vzdálenost ve směru na ní kolmém (výsledkem je tedy rovnoběžka) a kružnice mění svůj poloměr. Kružnice o nulovém poloměru je pak vnímána jako bod a naopak bod může být zvětšen na kružnici. Důležitým atributem tohoto zobrazení je fakt, že zachovává dotyk.

Dilatační metoda se často využívá k nalezení tečen dvou kružnic, což se hodí kupříkladu při řešení Apolloniových úloh. Zde je příklad jejího využití:

Najděte tečny modře zadaných kružnic l (S_1, r_1) a k (S_2, r_2).

Řešení (červeně): Obě zadané kružnice zmenšíme o poloměr menší z nich (r_2): z kružnice l tedy vznikne kružnice l_1, z kružnice k zbude jen bod (S_2). Víme, že tečna na kružnici a přímka, která spojuje střed a tento tečný bod, vždy svírají úhel 90°, pomocí Thaletovy kružnice tak nalezneme bod dotyku tečny (P_1). Spojením tohoto bodu (P_1) a středu S_2 mi vznikne přímka m. Rovnoběžka na tuto přímku, posunutá o poloměr menší kružnice r_2 ve směru na ní kolmém od středu S_1, je řešením úlohy. Řešením je tak dvojice přímek (v obrázku je pro zjednodušení zakreslena jen jedna ze dvou tečen). K nalezení druhé dvojice řešení aplikujeme stejný postup, jen na začátku kružnici l zvětšíme o poloměr r_2 (opět je do obrázku zanesena jen jedna ze dvou vzniknuvších přímek).