Dvě kružnice uvnitř sebe, přímka tečnou vnitřní

Postup

1. Protože je přímka tečnou vnitřní kružnice k_1, musí se námi hledané kružnice dotýkat právě v jejich tečném bodě.
2. Ten najdeme utvořením kolmice na zadanou přímku p_1, která zároveň prochází středem C kružnice k_1. Nazvěme tento tečný bod F. Středy námi hledaných kružnic musí ležet někde na této kolmici.
3. Připravíme si kružnici na kruhovou inverzi. Může mít jakýkoliv poloměr, hlavní je, že má střed v bodě F. Nazvěme ji kružnice e.
4. Uděláme kruhovou inverzi pro vnější zadanou kružnici k_2.
5. Protože má kružnice, přes kterou děláme kruhovou inverzi, střed v bodě F, pošle se bod F do nekonečna. Protože ale hledáme něco, co se má dotýkat bodu F a invertované kružnice, musí tohle něco procházet přes nekonečno a zároveň být tečnou invertované kružnice. Také chceme, aby se tohle něco dotýkalo zadané přímky p₁ pouze v jednom bodě - v bodě F. To ale znamená, že i v invertovaném obraze se musí toto něco dotýkat invertované přímky p₁ v jednom bodě. Protože toto jedno místo má být bod F, který je v nekonečnu, musí být toto něco přímka rovnoběžná s obrazem přímky p_1.
6. Zkonstruujeme dvě rovnoběžky s přímkou p_1, které jsou zároveň tečnami invertované kružnice k_2.
7. Rovnoběžky přes kružnici invertujeme zpět. Dostáváme tím dvě ze čtyř výsledných kružnic.
8. Připravíme si dilataci tak, abychom zmenšili kružnici k₁ se středem v bodu C na samotný bod C. To znamená, že budeme zadanou přímku p₁ posouvat od bodu C o poloměr kružnice k₁ a poloměr zadané kružnice k₂ také zvětšíme o poloměr kružnice k_1.
9. zkonstruujeme dilatované kružnice a přímky. Takto si úlohu dvě kružnice a přímka přeměníme na úlohu kružnice, přímka a bod.
10. Použijeme kruhovou inverzi. Zvolíme si z důvodu pohodlí zadanou kružnici k₁ jako kružnici, přes kterou budeme dělat kruhovou inverzi. Uděláme kruhovou inverzi dilatované přímky a kružnice.
11. Protože má kružnice, přes kterou děláme kruhovou inverzi, střed v bodě C, pošle se bod C do nekonečna. Protože ale hledáme něco, co se má dotýkat bodu C a invertované kružnice a přímky, musí tohle něco procházet přes nekonečno. Tato kritéria splňují tečny kružnic vzniklé invertováním dilatované kružnice a přímky.
12. Tečny přes kružnici k₁ invertujeme zpět. Dostáváme tím dvě výsledné kružnice pro dilatovanou úlohu.
13. Protože dilatace se středy kružnic nehýbe, tak jsou středy těchto kružnic v dilataci zároveň středy výsledných kružnic v původním zadání.
14. Protože zadaná přímka má být tečnou výsledných kružnic, tečný bod těchto kružnic leží na kolmici na tuto přímku procházející jejich středy respektive. Utvoříme takto body tečné body T1 a T2.
15. Sestrojíme výsledné kružnice k1 a k2, které mají středy v bodech S1 a S2 a procházejí body T1 a T2.