Apolloniovy a Pappovy úlohy

Apolloniovy úlohy pocházejí přibližně ze 3. nebo 2. století př. n. l., kdy je formuloval Apollónios z Pergy. Původně šlo o jediný problém: najít kružnici, která se dotýká tří daných kružnic. Postupem času byly formulovány varianty, kde tři zadané objekty mohly zahrnovat libovolnou kombinaci přímek, kružnic a bodů. Tím vzniklo deset možných kombinací. Cílem je vždy určit kružnici, která se dotýká všech tří zadaných objektů.

Apolloniovy úlohy se zachovaly díky Pappovi z Alexandrie, který ale také vytvořil svůj specifický typ úloh – tzv. Pappovy úlohy. Jedním ze tří zadaných objektů je bod, který zároveň leží na některém z ostatních dvou objektů (kružnici nebo přímce).

Úlohy sice vyřešil již autor sám, ale nová řešení, především původní úlohy se třemi zadanými kružnicemi, která je nejtěžší, byly v matematice dlouho diskutovaným problémem. Zabývali se jím významní matematici jako například Isaac Newton, René Descartes, Leonhard Euler nebo Carl Friedrich Gauss a spousta dalších.

Eukleidovská geometrie poskytuje řešení všech variant Apollonových a Pappových úloh. Používají se metody jako je stejnolehlost, dilatace a kruhová inverze. Řešení si ale můžeme zjednodušit neeukleidovskými metodami, díky kterým můžeme konstruovat hyperboly, paraboly a elipsy. Přehled všech typů úloh, postupy řešení a vysvětlení metod můžete najít na přiložených stránkách. Ačkoli je možné řešit tyto úlohy i algebraicky, tato stránka se zaměřuje především na geometrické metody.