Neeuklidovská řešení Apollonových úloh
Při řešeních Apollonových úloh se tradičně používá kružítko, pravítko a tužka. S pomocí těchto primitivních nástrojů lze sestrojit řešení úlohy metodami jako je kruhová inverze, mocnost bodu ke kružnici či stejnolehlost. Existuje však také metoda množiny bodů dané vlastností.
Množina bodů daná vlastností umožňuje úlohy rozdělit do menších celků, které umíme řešit. Uvažme například úlohu PPB (přímka, přímka, bod) s různoběžnými přímkami a bodem ležícím mimo ně:
Pro určení množiny bodů potřebujeme dva ze zadaných objektů. Vznikají nám tedy tři dvojice, u nichž můžeme množinu řešení určit. Následně lze najít průsečíky těchto množin, což jsou řešení celé úlohy. V tomto případě tedy vznikají dvojice přímka-přímka (PP), přímka-bod (PB), přímka-bod (PB). Řešení dvojice (PP) je jednoduché – víme, že střed kružnice, která je tečnou obou přímek, musí ležet na ose úhlu jejich průsečíků.
Množinu bodů pro dvojici (PP) je možné narýsovat pomocí obyčejných rýsovacích pomůcek, tudíž se jedná o euklidovské řešení. My nicméně musíme ještě určit množinu bodů dvojice (PB). K tomu použijeme parabolu, která je definována tak, že každý její bod je právě tak daleko od ohniska jako od řídící přímky. To jsou přesně ty vlastnosti, které musí mít střed kružnice, kterou hledáme. Protože v zadání najdeme dvojici (PB) dvakrát, kompletní množiny bodů dosáhneme narýsováním paraboly pro obě dvojice.
Tyto tři množiny bodů mají v tomto případě právě dva průsečíky, které jsou středem hledaných kružnic.
Množinu bodů daných vlastností lze sestrojit u šesti dvojic – PP, PB, PK, BB, BK, KK. Z nich jsou PB, PK, BK A KK neeuklidovské (s výjimkou některých speciálních případů). Za pomocí PB jsme nyní jednu Apolloniovu úlohu řešili, přesuňme se tedy ke dvojici PK, kterou můžeme řešit podobnou metodou. Vyznačené kružnice k_1, k_2 mají střed náhodně vybraný na parabolách k, e.
Pro dvojice BK musíme použít hyperbolu s ohnisky v zadaném bodě a ve středu kružnice. Jeden bod na hyperbole se nachází mezi zadaným bodem A a průsečíkem kružnice k_1 a úsečky AB. Z definice hyperboly vychází, že |AI| – |BI| = k. Tato konstanta je poloměr zadané kružnice k_1. Hyperbola má i druhou křivku, kde platí |AF| – |BF| = -k:
Dvojice KK se řeší velmi podobným způsobem, akorát vzniká jedna hyperbola navíc kvůli řešením, které procházejí mezi zadanými kružnicemi:
