Mocnost bodu ke kružnici

Mocností bodu ke kružnici nazýváme reálné číslo, které vyjadřuje polohu daného bodu vzhledem ke kružnici. Nejčastěji se značí m. Používá se především v situacích, kdy pracujeme se sečnami a tečnami kružnic. Mocnost bodu ke kružnici lze využít například při řešení Apolloniovy úlohy zadané dvěma body a přímkou, pokud oba body leží ve stejné polorovině určené danou přímkou.

Je-li k kružnice se středem S a poloměrem r, pak mocnost bodu M ke kružnici k definujeme vztahem:

m(M,k)=|MS|²−r²

kde M je daný bod, k je daná kružnice, S je její střed a r její poloměr.

Podle znaménka mocnosti můžeme určit polohu bodu vzhledem ke kružnici.

• Pokud je m(M,k)>0, bod M leží vně kružnice.
• Pokud je m(M,k)<0, bod M leží uvnitř kružnice.
• Pokud je m(M,k)=0, bod M leží na kružnici.

Z tohoto vztahu lze odvodit další vyjádření mocnosti pomocí sečny procházející bodem M. Nejprve uvažujme sečnu, která prochází bodem M i středem S. Její průsečíky s kružnicí označme A a B.

Jestliže bod M leží vně kružnice, pak platí |MB|=|MS|−r a |MA|=|MS|+r.

Původní definici

m(M,k)=|MS|²−r²

můžeme upravit pomocí vzorce pro rozdíl druhých mocnin:

m(M,k)=(|MS|−r)·(|MS|+r)

Po dosazení vztahů pro délky úseček |MA| a |MB| dostáváme:

m(M,k)=|MA|·|MB|

Jestliže bod M leží uvnitř kružnice, pak platí |MA|=r+|MS| a |MB|=r−|MS|. Proto můžeme původní definici upravit takto:

m(M,k)=|MS|²−r²=−(r²−|MS|²)

Po dosazení vztahů pro délky úseček dostáváme:

m(M,k)=−|MA|·|MB|

Zatím jsme vztah odvodili pouze pro sečnu procházející středem kružnice. Nyní ověříme, že pro bod M ležící vně kružnice platí stejný vztah i pro libovolnou sečnu kružnice procházející bodem M.

Z uvedené konstrukce vidíme, že trojúhelníky MAD a MBC jsou podobné, protože společný úhel při vrcholu M a další dvojice úhlů je shodná, protože jde o obvodové úhly nad stejným obloukem. Z podobnosti trojúhelníků plyne vztah

|MA|∶|MC|=|MD|∶|MB|

a tedy

|MA|·|MB|=|MD|·|MC|.

Odtud dostáváme:

m(M,k)=|MA|·|MB|=|MD|·|MC|

Tím jsme ověřili, že pro bod M ležící vně kružnice platí stejný vztah pro všechny sečny kružnice k procházející bodem M.

Další užitečné vyjádření mocnosti získáme v případě, kdy z bodu M vedeme ke kružnici k tečnu. Bod dotyku označme T.

Z konstrukce vidíme, že |ST|=r a že úsečky MS a ST tvoří s úsečkou MT pravoúhlý trojúhelník. Podle Pythagorovy věty proto platí:

|MT|²=|MS|²−r²

Porovnáním s definicí mocnosti bodu ke kružnici dostáváme:

m(M,k)=|MT|²

Pro bod M ležící vně kružnice tedy můžeme mocnost bodu ke kružnici vyjádřit následujícími vztahy:

m(M,k)=|MS|²−r²=|MA|·|MB|=|MD|·|MC|=|MT|²

V konstrukčních úlohách je tento vztah užitečný proto, že umožňuje převést součin délek na délku tečny vedené z téhož bodu.

Pokud bod M leží uvnitř kružnice, je jeho mocnost záporná. Při práci s délkami úseček je proto v takovém případě nutné doplnit znaménko minus.