Kruhová inverze

Definice kruhové inverze

Kruhová inverze je transformace roviny, která zobrazí body vůči dané kružnici (zvané inverzní kružnice) následovně:

• Mějme inverzní kružnici k se středem S a poloměrem R.
• Pro libovolný bod A v rovině (s výjimkou středu S) označíme jeho obraz jako A′.
• Body A a A′ leží na stejné polopřímce vycházející z S a platí: ∣SA∣⋅∣SA′∣=R2.

Body ležící uvnitř kružnice k se zobrazí vně kružnice a naopak. Střed S nemá obraz, resp. se zobrazuje do nekonečna. Této vlastnosti využíváme tím, že kružnice procházející bodem S se zobrazuje na přímku, právě díky tomu, že bod S "je poslán do nekonečna".

Vlastnosti kruhové inverze

• Přímky a kružnice:
  • Přímka procházející středem S se zobrazí na sebe.
  • Přímka, která neprochází S, se zobrazí na kružnici, která prochází S.
  • Kružnice procházející S se zobrazí na přímku.
  • Kružnice neprocházející S se zobrazí na jinou kružnici.
• Úhly: Kruhová inverze zachovává úhly mezi křivkami (je konformní transformací).
• Dotyk: Pokud se dvě křivky dotýkají, jejich obrazy se budou rovněž dotýkat.

Použití kruhové inverze při Apolloniových úlohách

Apolloniovy úlohy často zahrnují hledání kružnic, které splňují určité podmínky vůči daným objektům. Kruhová inverze tyto problémy zjednodušuje tím, že některé úlohy s kružnicemi a přímkami převádí na jednodušší situace (například kružnice na přímky nebo soustředné kružnice).

Příklad: Kružnice dotýkající se tří daných kružnic

1. Výběr inverzní kružnice: Zvolíme kružnici k, která je vhodná pro zjednodušení konfigurace. Obvykle zvolíme kružnici, jejíž střed je v těžišti problému (například ve středu jedné z kružnic) a poloměr tak, aby jedna z kružnic přešla na přímku.
2. Transformace úlohy: Provedeme inverzi všech objektů vůči kružnici k. Tím může dojít k:
   1. Převodu jedné z kružnic na přímku.
   2. Zjednodušení podmínek dotyku mezi objekty.
3. Řešení v inverzní rovině: V nové rovině řešíme jednodušší úlohu (např. hledání kružnice dotýkající se přímek a kružnic).
4. Inverzní transformace výsledku: Obraz nalezené kružnice zpětně převedeme pomocí kruhové inverze, čímž získáme řešení původní úlohy.

Praktická konstrukce

Pro ruční konstrukci inverze použijeme vztah ∣SA∣⋅∣SA′∣=R2 k nalezení obrazu bodu.

Zde můžeme využít Euklidovy věty o odvěsně, která nám říká, že a2=c⋅cA. Pokud tedy zařídíme, aby se a = R, získáme tím nástroj, jak zobrazovat body přes kruhovou inverzi. Ukazuje se, že tohoto můžeme využít ve všech třech příkladech zobrazení A na A':

• |SA| > R: Zde získáme pravoúhlý trojúhelník odpovídající našim předpokladům sestrojením Thaletovou kružnice t nad SA. Jeden z průsečíků t a k si označíme T a vedeme kolmici p na SA procházející T. Bod A' leží na průsečíku p a SA.

• |SA| = R: V tomto případě se bod A' zobrazí na A. Můžeme pro dokázání tohoto úkazu buď použít vzorec ∣SA∣⋅∣SA′∣=R2 nebo postupy pro |SA| > R nebo |SA| < R. Ze všech těchto postupů získáme A = A'.

• |SA| < R: Zde již známe patu výšky našeho trojúhelníku vhodného pro využití Euklidovy věty o odvěsně, kterou je A. Bod T tak získáme vytvořením kolmice p na SA v bodě A – bod T je kterýkoliv z průsečíků p a k. Dále vytvoříme kolmici e na ST procházející bodem T. Průsečíkem e a polopřímky SA získáme náš zobrazený bod A'.

Pro složitější úlohy často využíváme počítačové nástroje nebo dynamické geometrické programy (např. GeoGebra).

Tipy pro využití kruhové inverze: Kruhovou inverzi používáme zejména při hledání kružnice, která se dotýká kružnic či přímek. Kruhová inverze nám totiž pomáhá zobrazit tyto úlohy s kružnicemi na úlohy s přímkami, které bývají značně jednodušší.

Pokud je problém symetrický, kruhová inverze může úlohu nejen zjednodušit, ale také odhalit další důležité vlastnosti, například existenci více řešení.