Různoběžné přímky, jejich průsečík leží na kružnici, jedna přímka je tečnou

Postup

1. Středy hledaných kružnic musí ležet na osách úhlů svíraných přímkami.
2. Pokud se zadaná kružnice dilatuje do svého středu, posunou se zadané přímky o její poloměr.
3. Tím jsme úlohu změnili na úlohu se dvěma různoběnými přímkami a bodem. Tu vyřešíme (například pomocí stejnolehlosti).
4. Jedno z nalezených řešení upravené úlohy se po dilatování zpět zmenší do tečného bodu. Druhé dává první řešení úlohy.
5. Nyní budeme celý postup opakovat, jen se sečna kružnice při dilatování posune na opačnou stranu.
6. Opět řešíme úlohu pro dvě přímky a bod.
7. Stejně jako v předchozím případě se jedno z nalezených řešení upravené úlohy po dilatování zpět zmenší do tečného bodu. Druhé dává druhé řešení úlohy.
8. Úloha má dvě řešení.

Postup

1. Zvolíme řídící kružnici kruhové inverze. Její střed umísítíme do průsečíku přímek a kružnice.
2. Zadané objekty zobrazíme v kruhové inverzi. Přímky jsou samodružné a kružnice se zobrazí na přímku. Kruhovou inverzí jsme úlohu upravili na hledání kružnic dotýkajících se tří přímek.
3. Řešíme úlohu pro jednu různoběžnou a dvě rovnoběžné přímky. Použijeme metodu množin bodů daných vlastností.
4. Nalezené kružnice zobrazíme v kruhové inverzi.
5. Úloha má dvě řešení.

Postup

1. Středy hledaných kružnic musí ležet na osách úhlů svíraných přímkami.
2. Středy kružnic řešení musí ležet na parabole, na které leží všechny středy kružnic dotýkajících se zadané kružnice a její tečny mimo jejich společný tečný bod. Ohniskem této paraboly je střed kružnice. Řídící přímkou je přímka rovnoběžná se zadanou tečnou. Vzdálenost obou rovnoběžek je rovna poloměru zadané kružnice.
3. Středy kružnic řešení leží na průsečíku osy úhlu a paraboly.
4. Úloha má čtyři řešení.

Postup

0. Ke konstrukci řešení využiji stejnolehlosti, ve které se se řešení zobrazuje do zadané kružnice. Středem stejnolehlosti jsou body dotyku zadané kružnice a kružnice řešení. Zadané přímky jsou tečny kružnice řešení, ve stejnolehlosti se proto zobrazí jako tečny. Průsečík přímek se zobrazí do průsečíku. Střed stejnolehlosti, tj. zároveň tečný bod kružnic, musí ležet na spojnici těchto průsečíků. Tím můžu tečný bod nalézt.
1. Nejprve zobrazím zadané přímky, které se zobrazují jako tečny zadané kružnice. Stejnolehlost zachovává rovnoběžnost.
2. Nejprve zobrazím zadané přímky, které se zobrazují jako tečny zadané kružnice. Stejnolehlost zachovává rovnoběžnost.
3. Tečný bod musí ležet na spojnici průsečíku zadaných přímek a jeho obrazu.
4. Tečný bod je zároveň středem stejnolehlosti. Střed zadané kružnice a kružnice řešení proto s ním musí ležet na jedné přímce.
5. Střed kružnice řešení musí zároveň ležet na ose úhlu zadaných přímek.
6. Celý předchozí postup zopakuji ještě jednou. Jenom se tentokrát jedna z přímek bude zobrazovat na opačnou stranu zadané kružnice.
7. Celý předchozí postup zopakuji ještě jednou. Jenom se tentokrát jedna z přímek bude zobrazovat na opačnou stranu zadané kružnice.
8. Na spojnici průsečíku přímek a průsečíku jejich obrazů leží druhý tečný bod.
9. Tečný bod je zároveň středem stejnolehlosti. Střed zadané kružnice a kružnice řešení proto s ním musí ležet na jedné přímce.
10. Střed kružnice řešení musí zároveň ležet na ose úhlu zadaných přímek.
11. Máme středy obou kružnic řešení. Poloměr kružnic je dán vzdáleností k tečným bodům.
12. Úloha má dvě řešení.