Eukleidovská geometrie (a historie) a konstrukce

Eukleidovská geometrie (známá též jako klasická geometrie, nebo geometrie Eukleida) je založena na definicích a axiomech, se kterými přišel Eukleidés z Alexandrie ve 3. století př. n. l. v knize Základy (Elementa).

Matematické teorii založené na obdobných definicích a axiomech se říká axiomatická výstavba, která je dodnes formální metodou budování matematických teorií. Cílem axiomatické výstavby je vytvořit teorii, která je konzistentní (neobsahuje rozpory), kompletní (umožňuje dokázat nebo vyvrátit každé tvrzení v rámci dané teorie) a formální (každý krok je jednoznačně definován a nezávislý na intuici). Tvrzení uvedená v těchto axiomech se tak předpokládají za pravdivé a nijak se nedokazují. Stanovují pravidla dané metodiky a jsou pilíři dalšího bádání. S myšlenkou axiomů se poprvé setkáváme v 5.-3. stol. př. n. l. ve starověkém Řecku, které hledalo způsob, jak vytvořit pevné základy tehdejší matematiky a geometrie. Až Eukleidés ve 3. stol. př. n. l. však poprvé vytvořil axiomatickou výstavbu a sjednotil a upevnil tím základy tehdejší geometrie. Metoda axiomatické výstavby se používá dodnes a její pevná struktura vedla například k objevení několika důležitých matematických paradoxů (Russellův paradox).

Kniha Základy (Elementa) se skládá ze 13 knih. V první knize jsou zavedeny základní pojmy a axiomy, které platí pak pro celé dílo a celkově eukleidovskou geometrii. Dále se zabývá teorií trojúhelníku a rovnoběžníku. Druhá kniha geometrické algebry jsou z většiny tvrzení geometrických interpretacích algebraických vzorců. Třetí kniha je věnována kruhu a jeho vlastnostem. Čtvrtá se pak zabývá popisuje problémy s vepisováním útvarů do kruhu.

Do 19. století byla považována eukleidovská geometrie jako jediná možná. Až později se začaly objevovat jiné neeukleidovské geometrie, jakými jsou dnes například hyperbolická, nebo eliptická geometrie. Hlavní rozdíl mezi eukleidovskou a neeukleidovskými geometriemi spočívá v tom, že eukleidovská popisuje prostor, který je plochý a má nulovou křivost. V spisu Základy (Elementa) v knize první jsou zavedeny základní pojmy, podle kterých pojmenováváme jednotlivé útvary objevující se v eukleidovské geometrii. Mezi tyto definice patří například těchto 5:

1. Bod jest, co nemá dílu.
2. Čára je délka bez šířky. Hranicemi mezi čáry jsou body. Úsečka je čára, která se svými body táhne rovně.
3. Úhel úseček (dále krátce jen úhel) je vzájemný sklon dvou úseček (jejichž případná prodloužení neleží v jedné úsečce). Když se pak postaví úsečka na úsečku tak, že sousední úhly činí navzájem stejnými, jeden i druhý z těch stejných úhlů je pravý a úsečka postavená zve se kolmicí té, na níž je postavena. Tupý jest úhel větší pravého, ostrý pravého menší.
4. Meze jest, co jest něčeho hranicí. Útvar jest, co nějaká nebo nějaké meze objímají.
5. Rovnoběžky jsou takové úsečky, které leží v téže rovině a jejich jakákoliv prodloužení se neprotínají.

Dále jsou zavedeny takzvané axiomy, ze kterých jsou definované vztahy mezi definovanými objekty a je jimi definovaná vlastně celá eukleidovská geometrie. Patří mezi ně těchto 5 postulátů (úkolů prvotních) a axiomů (zásad):

1. Lze vytvořit úsečku, která spojuje dva dané body.
2. Danou úsečku lze na obou stranách libovolně prodloužit.
3. Lze vytvořit kruh o daném středu, na jehož obvodě leží daný bod.
4. Všechny pravé úhly jsou si rovny.
5. Jestliže úsečka protíná dvě úsečky tak, že na jedné straně je součet vnitřních přilehlých úhlů menší než dva pravé úhly, pak lze na této straně úsečky prodloužit tak, aby se tato jejich prodloužení proťala.

Eukleidovská konstrukce je pak taková konstrukce, ve které můžeme dělat pouze takové úkony, které jsou v souladu s prvními třemi postuláty/axiomy. Nutno dodat, že s těmito pravidly nepřišel samotný Eukleides. Byla pevně stanovena až později. Dnes těmto pravidlům v geometrii však říkáme Eukleidovská. Vymezuje pevné mantinely toho, které kroky jsou možné a které ne. Nemůžeme si tak například měřit vzdálenosti a kopírovat je při postupu. Podle eukleidovské geometrie je tak nutné si velikosti pomocí nějaké konstrukce přenést. Dalším důležitým pravidlem je nutnost konečnosti řešení. Není tedy možné dojít k závěru, že pokud bychom opakovali nějaký úkon donekonečna, tak dojdeme k správnému řešení.

Při konstruování eukleidovské konstrukce jsou povoleny pouze tyto pomůcky: pravítko bez měřítka a kružítko. To z principu značně omezuje útvary, které můžeme přesně celé narýsovat jako jsou například elipsy (dají se narýsovat pouze jednotlivé body elipsy). Dále není povoleno měření úhlů a jejich přenášení. V případě nutnosti narýsování daného úhlu je nutné ho pomocí konstrukce přenést.

Z dnešního pohledu se nám geometrie starých Řeků může zdát zbytečně svázaná, protože často vyžadovala dlouhé konstrukce, které by bylo možné nahradit jednoduchým měřením. Tato přísná omezení však měla hlubší smysl: vedla k rozvoji logického, abstraktního a deduktivního myšlení. Omezení kladená na eukleidovské konstrukce můžeme přirovnat ke sportovním pravidlům – jasně definovaná pravidla nutí „hráče“ hledat inovativní řešení problémů v rámci daných možností. Použití dalších pomůcek v eukleidovské geometrii by se pak dalo přirovnat k porušení těchto pravidel, například k hraní fotbalu se střelnou zbraní v ruce. Vaše vítězství je jisté a snadné, ale samotná hra tím ztrácí smysl.