Dvě kružnice uvnitř sebe, přímka tečnou vnější

Postup

2. Protože je přímka tečnou vnější kružnice k₁, musí se námi hledané kružnice dotýkat právě v jejich tečném bodě. Ten najdeme utvořením kolmice na zadanou přímku p₁, která zároveň prochází středem C kružnice k₁. Nazvěme tento tečný bod F. Středy námi hledaných kružnic musí ležet někde na této kolmici.
3. Připravíme si kružnici na kruhovou inverzi. Může mít jakýkoliv poloměr, hlavní je, že má střed v bodě F. Nazvěme ji kružnice e.
4. Uděláme kruhovou inverzi pro vnitřní zadanou kružnici k₂.
5. Protože má kružnice, přes kterou děláme kruhovou inverzi, střed v bodě F, pošle se bod F do nekonečna. Protože ale hledáme něco, co se má dotýkat bodu F a invertované kružnice, musí tohle něco procházet přes nekonečno a zároveň být tečnou invertované kružnice. Také chceme, aby se tohle něco dotýkalo zadané přímky g pouze v jednom bodě - v bodě F. To ale znamená, že i v invertovaném obraze se musí toto něco dotýkat invertované přímky p₁ v jednom místě. Protože toto jedno místo má být bod F, který je v nekonečnu, musí být toto něco přímka rovnoběžná s obrazem přímky p₁.
6. Zkonstruujeme dvě rovnoběžky s přímkou p₁, které jsou zároveň tečnami invertované kružnice k₂.
7. Rovnoběžky přes kružnici e invertujeme zpět. Dostáváme tím dvě výsledné kružnice.

Postup

0. dány dvě kružnice uvnitř sebe a přímku, která je tečnou větší kružnice. Kružnice, které budou řešením, se musí procházet tečným bodem přímky f a kružnice c. Úlohu si tedy můžeme zjednodušit na bod kružnice kružnice. Úlohu budeme řešit neeukleidovsky pomocí množiny bodů. Vždy nejdříve nejdeme množinu bodů, která je stejně vzdálená od dvou z třech zadaných objektů a na konci najdeme jejich průsečík.
1. kružnice uvnitř kružnice: Narýsujeme přímku procházející středy kružnic a najdeme její průsečíky s kružnicemi. Následně najdeme střed mezi bližšími průsečíky (I a G nebo F a H) a střed mezi průsečíky od sebe vzdálenějšími (G a H nebo F a I)
2. Narýsujeme elipsy s ohnisky ve středech kružnic a procházející středy. Tyto elipsy jsou množinou všech bodů stejně vzdálených od dvou zadaných kružnic.
3. bod ležící na kružnici: Narýsujeme přímku procházející bodem B a středem kružnice c. Tato přímka je množinou všech bodů stejně vzdálených od bodu B a kružnice c.
4. kružnice a bod ležící mimo ni: Narýsujeme úsečku i spojující střed kružnice d a bod B.
5. Najdeme průsečík úsečky i a kružnice d. Najdeme střed N mezi tímto průsečíkem a bodem B.
6. Narýsujeme hyperbolu s ohnisky v bodu B a ve středu kružnice d procházející bodem N. Tato hyperbola je množinou všech bodů stejně vzdálených od bodu B a kružnice d.
7. Středy kružnic, které budou řešením úlohy, se nachází na průsečících všech tří množin. Tyto průsečíky najdeme a pojmenujeme S₁ a S₂.
8. Narýsujeme kružnice se středy v S₁ a S₂ procházející bodem B.