Protínající se kružnice, přímka je sečnou jedné a tečnou druhé kružnice

Postup

1. Zvolíme řídicí kružnici kruhové inverze. Její střed volíme v průsečíku zadaných kružnic.
2. Zadané objekty zobrazíme v kruhové inverzi. Kružnice se zobrazí jako různoběžné přímky, zadaná přímka se zobrazí jako kružnice.
3. Nyní budeme hledat kružnice, které se dotýkají zobrazených objektů – kružnice a dvou přímek. K jejich nalezení využijeme stejnolehlost, konkrétně čtyři stejnolehlosti, v nichž je daná kružnice obrazem jednotlivých kružnic řešení. Středy těchto stejnolehlostí jsou tečné body mezi kružnicemi. Dané přímky se zobrazují na rovnoběžné tečny kružnice.
4. Průsečík daných přímek se zobrazí na průsečíky tečen. Sestrojíme přímky, které tyto průsečíky spojují. Body, kde tyto přímky protínají kružnici, jsou středy stejnolehlostí – tedy tečné body mezi danou kružnicí a kružnicemi řešení.
5. Sestrojíme přímky procházející nalezenými tečnými body a středem dané kružnice. Tyto přímky zobrazují ve stejnolehlostech střed dané kružnice na středy kružnic řešení.
6. Protože se kružnice řešení mají dotýkat daných přímek, leží jejich středy na osách úhlů daných přímkami. Středy kružnic řešení nalezneme v průsečících těchto os a dříve narýsovaných přímek.
7. Nalezli jsme čtyři řešení úlohy v obraze inverze.
8. Další dvě řešení jsou kružnice, které se dotýkají dané kružnice a přímky v jejich společném tečném bodě. Jejich středy proto budou ležet na kolmici k přímce procházející tímto bodem.
9. Středy hledaných dvou kružnic leží v průsečících kolmice s osami úhlů.
10. Nalezli jsme zbylá dvě řešení.
11. Nalezená řešení jsou v kruhové inverzi obrazy kružnic řešení původní úlohy.
12. Úloha má šest řešení.

Postup

1. Zvolíme řídicí přímku kruhové inverze. Jako její střed zvolíme bod dotyku zadané přímky a kružnice.
2. V kruhové inverzi zobrazíme zadané objekty. Kružnice procházející tečným bodem se zobrazí jako přímka. Zadaná přímka je samodružná.
3. Hledáme kružnice, které se dotýkají všech zobrazených objektů. Jejich středy najdeme pomocí množin bodů daných vlastností. Najdeme čtyři takové kružnice. Ty jsou obrazy čtyř kružnic řešení původní úlohy.
4. Zbylé dvě řešení se v kruhové inverzi zobrazují jako tečny zobrazené kružnice rovnoběžné se zadanou přímkou.
5. Nalezené obrazy kružnic řešení zobrazíme zpět v kruhové inverzi.
6. Úloha má šest řešení.

Postup

1. Středy všech kružnic, které mají s jednou zadanou kružnicí vnější dotyk a s druhou vnitřní dotyk, leží na elipse. Ohniska elipsy jsou středy zadaných kružnic. Elipsa prochází průsečíky obou kružnic.
2. Středy všech kružnic, které mají s oběma zadanými kružnicemi vnější dotyk nebo s oběma vnitřní dotyk, leží na hyperbole. Ohniska hyperboly jsou středy zadaných kružnic. Hyperbola prochází průsečíky obou kružnic.
3. Středy všech kružnic, které se dotýkají zadané kružnice a přímky v jejich tečném bodě, leží na kolmici k přímce procházející společným tečným bodem.
4. Středy všech kružnic, které se dotýkají zadané přímky a kružnice mimo jejich tečný bod, leží na parabole. Ohniskem paraboly je střed kružnice. Řídící přímkou je přímka rovnoběžná se zadanou přímkou. Vzdálenost obou rovnoběžek je rovna poloměru zadané kružnice.
5. Středy kružnic, které se dotýkají všech tří zadaných objektů leží na průsečícících elipsy, kolmice, hyperboly a paraboly. Některé z průsečíků nejsou středy kružnic řešení. To je v případech, kdy na jedné křivce leží středy kružnic, které mají se zadanou kružnicí vnitřní dotyk, a na druhé ty, které s ní mají vnější dotyk (nebo naopak).
6. Úloha má šest řešení.