Protínající se kružnice, přímka je sečnou jedné z nich

Postup

1. Zvolíme řídicí kružnici kruhové inverze. Její střed volíme v průsečíku zadaných kružnic.
2. Zadané objekty zobrazíme v kruhové inverzi. Kružnice se zobrazí jako různoběžné přímky, zadaná přímka se zobrazí jako kružnice.
3. Nyní budeme hledat kružnice, které se dotýkají zobrazených objektů – kružnice a dvou přímek. K jejich nalezení využijeme stejnolehlost, konkrétně čtyři stejnolehlosti, v nichž je daná kružnice obrazem jednotlivých kružnic řešení. Středy těchto stejnolehlostí jsou tečné body mezi kružnicemi. Dané přímky se zobrazují na rovnoběžné tečny kružnice.
4. Průsečík daných přímek se zobrazí na průsečíky tečen. Sestrojíme přímky, které tyto průsečíky spojují. Body, kde tyto přímky protínají kružnici, jsou středy stejnolehlostí – tedy tečné body mezi danou kružnicí a kružnicemi řešení.
5. Sestrojíme přímky procházející nalezenými tečnými body a středem dané kružnice. Tyto přímky zobrazují ve stejnolehlostech střed dané kružnice na středy kružnic řešení.
6. Protože se kružnice řešení mají dotýkat daných přímek, leží jejich středy na osách úhlů daných přímkami. Středy kružnic řešení nalezneme v průsečících těchto os a dříve narýsovaných přímek.
7. Nalezli jsme čtyři řešení úlohy v obraze inverze.
8. Nalezená řešení jsou v kruhové inverzi obrazy kružnic řešení původní úlohy.
9. Úloha má čtyři řešení.

Postup

1. Středy všech kružnic, které mají s jednou zadanou kružnicí vnější dotyk a s druhou vnitřní dotyk, leží na elipse. Ohniska elipsy jsou středy zadaných kružnic. Elipsa prochází průsečíky obou kružnic.
2. Středy všech kružnic, které mají s oběma zadanými kružnicemi vnější dotyk nebo s oběma vnitřní dotyk, leží na hyperbole. Ohniska hyperboly jsou středy zadaných kružnic. Hyperbola prochází průsečíky obou kružnic.
3. Středy všech kružnic, které se dotýkají zadané přímky a kružnice, která ji protíná, leží na dvojici parabol. Ohniskem obou parabol je střed kružnice. Řídící přímky parabol jsou přímky rovnoběžné se zadanou přímkou. Vzdálenost rovnoběžek od přímky je rovna poloměru zadané kružnice.
4. Středy kružnic, které se dotýkají všech tří zadaných objektů leží na průsečícící elipsy a hyperboly s parabolami. Některé z průsečíků nejdou středy kružnic řešení. To je v případech, kdy na jedné křivce leží středy kružnic, které mají se zadanou kružnicí vnitřní dotyk, a na druhé ty, které s ní mají vnější dotyk (nebo naopak).
5. Úloha má čtyři řešení.