Dvě kružnice bez dotyku, přímka mimo

Postup

1. Množina všech středů kružnic dotýkajících se dvou nedotýkajících se kružnic je tvořena dvojicí hyperbol. Ohnisky hyperbol jsou středy kružnic. Pro jejich sestrojení potřebujeme znát alespoň jeden bod každé hyperboly. Sestrojíme přímku, na níž leží středy obou zadaných kružnic. Najdeme průsečíky této přímky s kružnicemi. Středy úseček daných průsečíky jsou vrcholy hyperbol.
2. Sestrojíme hyperboly s ohnisky ve středech kružnic a procházející nalezenými vrcholy.
3. Množina všech středů kružnic dotýkajících se zadané kružnice a přímky je dvojice parabol. Ohniskem parabol je střed kružnice. Jejich řídicí přímky jsou rovnoběžné se zadanou přímkou. Vzdálenost řídicích přímek od zadané přímky je rovna poloměru zadané kružnice.
4. Středy kružnic řešení leží v průsečících nalezených hyperbol a parabol.
5. Úloha má osm řešení.

Postup

0. Zadáním jsou dvě kružnice a přímka, které se navzájem nedotýkají. Čtyřikrát pomocí kruhové inverze zjistíme dvě z výsledných kružnic. Při každé inverzi budeme mít jiným způsobem dilatované zadání. Nazveme si menší kružnici c a větší kružnici d (se stejným poloměrem můžeme zaměňovat)
1. Prvním dilatovaným zadáním je kružnice d o poloměr c menší a
2. zadaná přímka o poloměr c "blíže" (je rovnoběžná se zadanou přímkou a vzdálenost mezi nimi je c).
3. Provedeme kruhovou inverzi dilatované přímky a dilatované kružnice d přes kružnici c. Vzniknou tím dvě kružnice.
4. Sestrojíme 4 tečny obrazů kruhové inverze.
5. Tečny zobrazíme zpátky přes kruhovou inverzi - opět přes kružnici c.
6. Obrazy tečen (kružnice) dilatujeme zpátky (zkoušíme zvětšit nebo zmenšit zpátky o poloměr c, v krocích 13-22 o poloměr d). Právě dvě z těchto řešení se dotýkají všech zadaných objektů.
7. Pro kroky 8-12 je dilatovaným zadáním kružnice d o poloměr c menší a zadaná přímka o poloměr c "dále" (srovnej s krokem 2). Opět vyřešíme kruhovou inverzí přes kružnici c.
8. Pro kroky 13-18 je dilatovaným zadáním kružnice c o poloměr d větší a zadaná přímka o poloměr d "blíže" (srovnej s krokem 2). Vyřešíme kruhovou inverzí, ale přes kružnici d.
9. Pro kroky 19-22 je dilatovaným zadáním kružnice c o poloměr d větší a zadaná přímka o poloměr d "dále" (srovnej s krokem 2). Vyřešíme kruhovou inverzí, ale přes kružnici d.