Protínající se kružnice, bez kontaktu s přímkou

Postup

1. Zvolíme řídicí kružnici kruhové inverze. Její střed volíme v průsečíku zadaných kružnic.
2. Zadané objekty zobrazíme v kruhové inverzi. Kružnice se zobrazí jako různoběžné přímky, zadaná přímka se zobrazí jako kružnice.
3. Nyní budeme hledat kružnice, které se dotýkají zobrazených objektů – kružnice a dvou přímek. K jejich nalezení využijeme stejnolehlost, konkrétně čtyři stejnolehlosti, v nichž je daná kružnice obrazem jednotlivých kružnic řešení. Středy těchto stejnolehlostí jsou tečné body mezi kružnicemi. Dané přímky se zobrazují na rovnoběžné tečny kružnice.
4. Průsečík daných přímek se zobrazí na průsečíky tečen. Sestrojíme přímky, které tyto průsečíky spojují. Body, kde tyto přímky protínají kružnici, jsou středy stejnolehlostí – tedy tečné body mezi danou kružnicí a kružnicemi řešení.
5. Sestrojíme přímky procházející nalezenými tečnými body a středem dané kružnice. Tyto přímky zobrazují ve stejnolehlostech střed dané kružnice na středy kružnic řešení.
6. Protože se kružnice řešení mají dotýkat daných přímek, leží jejich středy na ose úhlu daného přímkami. Středy kružnic řešení nalezneme v průsečících této osy a dříve narýsovaných přímek.
7. Nalezli jsme čtyři řešení úlohy v obraze inverze.
8. Nalezená řešení jsou v kruhové inverzi obrazy kružnic řešení původní úlohy.
9. Úloha má čtyři řešení.

Postup

1. Středy všech kružnic, které mají s oběma zadanými kružnicemi vnější dotyk nebo s oběma vnitřní dotyk, leží na hyperbole. Ohniska hyperboly jsou středy zadaných kružnic. Hyperbola prochází průsečíky obou kružnic.
2. Středy všech kružnic, které se dotýkají zadané přímky a mají se zadanou kružnicí vnější dotyk, leží na parabole. Ohniskem paraboly je střed zadané kružnice. Řídící přímkou je rovnoběžka se zadanou přímkou. Řídící přímka je oproti zadané přímce posunutá o poloměr zadané kružnice směrem od ní.
3. Středy všech kružnic, které se dotýkají zadané přímky a mají se zadanou kružnicí vnitřní dotyk, leží na parabole. Ohniskem paraboly je střed zadané kružnice. Řídící přímkou je rovnoběžka se zadanou přímkou. Řídící přímka je oproti zadané přímce posunutá o poloměr zadané kružnice směrem k ní.
4. Středy kružnic, které se dotýkají všech tří zadaných objektů leží na průsečícících hyperboly s parabolami. Některé z průsečíků nejsou středy kružnic řešení. To je v případech, kdy na jedné křivce leží středy kružnic, které mají se zadanou kružnicí vnitřní dotyk, a na druhé ty, které s ní mají vnější dotyk (nebo naopak).
5. Úloha má čtyři řešení.