Kružnice uvnitř druhé, přímka je sečnou obou

Postup

1. Zvolíme řídicí kružnici kruhové inverze. Její střed zvolíme v průsečíku zadané kružnice s přímkou.
2. Zadané objekty zobrazíme v kruhové inverzi. Kružnice procházející středem řídicí kružnice se zobrazí jako přímka. Zadaná kružnice je samodružná.
3. V zobrazení řešíme úlohu pro dvě přímky a kružnici. Středy kružnic řešení budou ležet na osách úhlů.
4. Dál budeme pokračovat s využitím stejnolehlosti. Uvažujeme čtyři různé stejnolehlosti. V každé z nich je daná kružnice obrazem jedné z kružnic řešení. Středy těchto stejnolehlostí jsou vždy tečné body dané kružnice a kružnice řešení. Přímky, kterých se mají kružnice řešení dotýkat, se proto zobrazí na rovnoběžné tečny kružnice.
5. Průsečíky přímek a jejich obrazů musí být kolineární se středy stejnolehlosti. Narýsujeme přímky, které je spojují. Průsečíky těchto přímek s danou kružnicí proto jsou středy myšlených stejnolehlostí.
6. V těchto stejnolehlostech jsou středy kružnic řešení obrazem středu dané kružnice. Musí proto ležet na přímkách, které procházejí jednak středem kružnice a jednak středy stejnolehlostí. V průsečících těchto přímek s osami úhlů leží hledané středy.
7. Nalezli jsme čtyři řešení invertované úlohy. Tato řešení jsou obrazy řešení původní úlohy v kruhové inverzi.
8. Nalezené kružnice zobrazíme v kruhové inverzi.
9. Úloha má čtyři řešení.

Postup

1. Kružnice řešení budou mít s vnější zadanou kružnicí vnitřní dotyk a s vnitřní zadanou kružnicí vnější dotyk. Středy takových kružnic leží na elipse. Ohnisky elipsy jsou středy zadaných kružnic. Pro její narýsování potřebujeme alespoň jeden bod, který na ní leží. Narýsujeme přímku procházející středy zadaných kružnic a určíme střed úsečky, jejíž krajními body jsou průsečíky této přímky se zadanými kružnicemi. Tento bod je středem jedné z kružnic, které se dotýkají obou zadaných kružnic.
2. Sestrojíme elipsu s ohnisky ve středech zadaných kružnic, která prochází tímto bodem.
3. Středy kružnic, které se dotýkají zadané přímky a vnitřní kružnice, leží na dvojici parabol. Ohniskem obou parabol je střed kružnice, řídicí přímky jsou rovnoběžné se zadanou přímkou a jejich vzdálenost od zadané přímky je rovna poloměru kružnice.
4. Středy kružnic řešení leží v průsečících elipsy a obou parabol.
5. Úloha má čtyři řešení.

Postup

2. Připravíme si dilataci tak, abychom zmenšili kružnici d se středem v bodu C na samotný bod C. To znamená, že budeme zadanou přímku g posouvat k a od bodu C o poloměr kružnice d a poloměr zadané kružnice c také zvětšíme o poloměr kružnice d.
3. zkonstruujeme dilatované kružnice a přímky. Takto si úlohu dvě kružnice a přímka přeměníme na úlohu kružnice, přímka a bod.
4. Nejdříve začneme s případem, kdy jsme u přímky přičetli poloměr zadané kružnice d.
5. Použijeme kruhovou inverzi. Zvolíme si z důvodu pohodlí zadanou kružnici d jako kružnici, přes kterou budeme dělat kruhovou inverzi. Uděláme kruhovou inverzi dilatované přímky a kružnice.
6. Protože má kružnice, přes kterou děláme kruhovou inverzi, střed v bodě C, pošle se bod C do nekonečna. Protože ale hledáme něco, co se má dotýkat bodu C a invertované kružnice a přímky, musí tohle něco procházet přes nekonečno. Tato kritéria splňují tečny kružnic vzniklé invertováním dilatované kružnice a přímky.
7. Tečny přes kružnici d invertujeme zpět. Dostáváme tím dvě výsledné kružnice pro dilatovanou úlohu.
8. Protože dilatace se středy kružnic nehýbe, tak jsou středy těchto kružnic v dilataci zároveň středy výsledných kružnic v původním zadání. Protože zadaná přímka má být tečnou výsledných kružnic, tečný bod těchto kružnic leží na kolmici na tuto přímku procházející jejich středy respektive. Utvoříme takto body tečné body T1 a T2.
9. Sestrojíme výsledné kružnice k1 a k2, které mají středy v bodech S1 a S2 a procházejí body T1 a T2.
10. Nyní se koukneme na případ, kdy od přímky odečteme poloměr zadané kružnice d.
11. • 17) opakujeme kroky 5 - 9.