Kružnice s vnitřním dotykem, přímka je sečnou jedné z nich

Postup

1. Úlohu budeme řešit postupně ve třech fázích. Vždy si ji pomocí dilatace upravíme na úlohu, kterou dokážeme vyřešit s využitím kruhové inverze. Nejprve budeme hledat řešení, které se obou kružnic dotýká v tečném bodě a leží uvnitř větší kružnice. Při dilatování menší kružnice na bod se přímka posouvá směrem ke středu menší kružnice a větší kružnice se zmenší o poloměr menší kružnice. Tím jsme zadanou úlohu změnili na úlohu bod, přímka, kružnice, kde bod leží na kružnici.
2. Pozměněnou úlohu budeme řešit kruhovou inverzí. Za řídící kružnici kruhové inverze si zvolíme menší ze zadaných kružnic, zvolit však můžeme jakoukoliv kružnici se středem ve středu menší kružnice. V kruhové inverzi zobrazíme dilatované obrazy přímky a větší kružnice. Střed menší kružnice se zobrazí do nekonečna.
3. Najdeme rovnoběžné tečny kružnice, která je obrazem přímky, s přímkou, která je obrazem větší kružnice. Tyto dvě rovnoběžky jsou obrazy řešení zadání po provedené dilataci. Pouze jedna z nich je však zároveň obrazem řešení původní úlohy.
4. Z obou rovnoběžek vybereme tu, která je obrazem hledaného řešení. Tu zobrazíme zpět v kruhové inverzi.
5. Nalezenou kružnici dilatujeme o poloměr menší kružnice a tím nalezneme první řešení.
6. • 10. V krocích 6 až 10 hledáme kružnici která se obou zadaných kružnic dotýká v jejich společném bodě dotyku a leží vně obou kružnic. Kroky jsou obdobné jako kroky 1 až 5. Rozdíl spočívá pouze v tom, že při počáteční dilataci posouváme zadanou přímku na opačnou stranu.
7. Nyní nalezneme kružnice, které mají s větší kružnicí vnitřní dotyk a s menší zadanou kružnicí vnější dotyk. Nejprve provedeme dilataci. Přímka se posouvá směrem od zadaných kružnic a větší z obou kružnic se zvětšuje o poloměr menší zadané kružnice.
8. Dilatované objekty zobrazíme v kruhové inverzi. Jako řídící kružnici kruhové inverze opět použijeme menší ze zadaných kružnic.
9. Hledaná řešení úlohy se v kruhové inverzi zobrazují na společné tečny kružnic.
10. Nalezené tečny zobrazíme v kruhové inverzi.
11. Získané kružnice dilatujeme o poloměr menší zadané kružnice. Tím získáme zbylá dvě řešení.
12. Úloha má čtyři řešení.

Postup

1. Nejprve zkonstruujeme množiny středů kružnic dotýkajích se obou zadaných kružnic. Množina všech středů kružnic, které se jich v jejich společném bodě dotyku, je přímka procházející středy zadaných kružnic.
2. Množina všech středů kružnic, které mají s menší zadanou kružnicí vnější a s větší kružnicí vnitřní dotyk, je elipsa s ohnisky ve středech těchto kružnic. Elipsa prochází společným bodem dotyku kružnic.
3. Nyní zkonstruujeme množiny dotýkající se menší z obou kružnic a zadané přímky. Středy kružnic, které mají se zadanou kružnicí vnitřní dotyk leží na parabole. Ohniskem paraboly je střed kružnice. Řídící přímkou je přímka rovnoběžná se zadanou přímkou a posunutá o poloměr kružnice. Toto posunutí plyne z dilatace, ve které se zadaná kružnice zmenšuje na bod.
4. Středy kružnic, které mají se zadanou kružnicí vnější dotyk a zároveň se dotýkají zadané přímky, leží na parabole. Ohniskem paraboly je střed kružnice, řídící prímkou je přímka rovnoběžná se zadanou přímkou a posunutá do opačné poloroviny, než v předchozím kroku.
5. Nyní budeme nacházet středy kružnic řešení jako průsečíky zkonstruovaných útvarů představujících množiny bodů. První střed leží na průsečíku přímky a jedné z parabol. Z obou průsečíků nám vyhovuje pouze ten, ve kterém obě množiny předpokládají s menší kružnicí vnitřní dotyk.
6. Další střed leží na průsečíku přímky a druhé z parabol. Teď se nám z obou průsečíků hodí ten, u kterého obě množiny předpokládají vnější dotyk s menší kružnicí.
7. Zbylé dva průsečíky nalezneme jako průsečí paraboly pro vnější dotyk s menší kružnicí a elipsou.
8. Úloha má celkem čtyři řešení.