Kružnice s vnitřním dotykem, přímka je tečnou vnější

Postup

1. Sestrojíme řídící kružnici kruhové inverze. Za její střed zvolíme tečný bod T.
2. Zadané objekty zobrazíme v kruhové inverzi. Ve zvolené kruhové inverzi je zadaná přímka samodružná. Zároveň se jedna ze zadaných kružnic zobrazí na s ní rovnoběžnou přímku.
3. Najdeme obrazy řešení úlohy. Prvním je kružnice ležící v pásu mezi rovnoběžnými přímkami. Druhým je tečna obrazu kružnice, která je rovnoběžná s oběmi přímkami. Obraz bodu dotyku se zbylými dvěma objekty je v nekonečnu.
4. Nalezenou kružnici a přímku zobrazíme zpět v kruhové inverzi.
5. Úloha má dvě řešení.

Postup

1. Středy kružnic, které se dotýkají zadaných kružnic v jejich společném bodě dotyku, leží na přímce procházející středy zadaných kružnic.
2. Tečna procházející tečným bodem kružnic je rovněž tečnou hledané kružnice řešení.
3. Střed kružnice řešení leží na ose úhlu daného tečnou a zadanou přímkou.
4. Střed první kružnice řešení leží v průsečíku osy a přímky procházející středy kružnic.
5. Nalezli jsme první řešení.
6. Druhá kružnice řešení se bude zadané kružnice a přímky dotýkat v jejich společném tečném bodě. Její střed proto bude ležet na kolmici k zadané přímce procházející tečným bodem.
7. Středy všech kružnic, které se dotýkají zadaných kružnic mimo jejich společný tečný bod, leží na elipse. Ohnisky elipsy jsou středy zadaných kružnic. Elipsa prochází tečným bodem obou kružnic.
8. Střed druhé kružnice řešení leží v jednom z průsečíků kolmice a elipsy.
9. Úloha má dvě řešení.

Postup

1. Sestrojíme přímku, na níž leží středy všech kružnic, které se dotýkají zadaných kružnic v jejich společném bodě dotyku. Tato přímka prochází středy zadaných kružnic.
2. Sestrojíme tečnu vnitřní kružnice, která je rovnoběžná se zadanou přímkou, a určíme její tečný bod se zadanou kružnicí. Tato tečna představuje obraz zadané přímky ve dvou stejnolehlostech, jejichž středy jsou tečné body vnitřní zadané kružnice s kružnicemi řešení. Zadaná vnitřní kružnice je obrazem kružnic řešení.
3. K nalezení prvního řešení použijeme první stejnolehlost. Sestrojíme přímku procházející právě nalezeným tečným bodem a tečným bodem zadaných kružnic, který je středem této stejnolehlosti. Průsečík této přímky se zadanou přímkou je tečným bodem zadané přímky s kružnicí řešení.
4. Nyní známe dva tečné body hledané kružnice. Její střed tedy musí ležet na ose úsečky mezi těmito body.
5. Střed kružnice leží v průsečíku této osy a přímky procházející středy zadaných kružnic.
6. Nalezli jsme první řešení úlohy.
7. Druhá kružnice řešení se dotýká vnější zadané kružnice a zadané přímky v jejich společném bodě. Její střed proto leží na kolmici k zadané přímce procházející tímto bodem.
8. Dříve nalezený tečný bod je nyní obrazem tečného bodu zadané kružnice a přímky ve druhé stejnolehlosti. Střed stejnolehlosti tedy leží na přímce spojující tyto dva body. Tento střed je zároveň tečným bodem zadané kružnice s kružnicí řešení.
9. Střed hledané kružnice bude opět ležet na ose mezi jejími tečnými body.
10. Střed leží v průsečíku této osy a kolmice k zadané přímce.
11. Úloha má dvě řešení.