Kružnice bez dotyku, přímka protíná jednu z nich

Postup

1. Množina všech středů kružnic dotýkajících se dvou nedotýkajících se kružnic je tvořena dvojicí hyperbol. Ohnisky hyperbol jsou středy kružnic. Pro jejich sestrojení potřebujeme znát alespoň jeden bod každé hyperboly. Sestrojíme přímku, na níž leží středy obou zadaných kružnic. Najdeme průsečíky této přímky s kružnicemi. Středy úseček daných průsečíky jsou vrcholy hyperbol.
2. Sestrojíme hyperboly s ohnisky ve středech kružnic a procházející nalezenými vrcholy.
3. Množina všech středů kružnic dotýkajících se zadané kružnice a přímky je dvojice parabol. Ohniskem parabol je střed kružnice. Jejich řídicí přímky jsou rovnoběžné se zadanou přímkou. Vzdálenost řídicích přímek od zadané přímky je rovna poloměru zadané kružnice.
4. Středy kružnic řešení leží v průsečících nalezených hyperbol a parabol.
5. Úloha má čtyři řešení.

Postup

0. Zadáním jsou kružnice a a b a přímka c, která protíná kružnici a.
1. Sestrojíme náhodnou kružnici d se středem v bodě A, který je jeden z průsečíků kružnice a a přímky c.
2. Provedeme kruhovou inverzi kružnice a a b podle kružnice d.
3. Sestrojíme kružnici e s poloměrem velikosti poloměru kružnice b' se středem v bodě B, který je průsečíkem přímek c a a'.
4. Sestrojíme kolmice f a g na přímky c a a', které procházejí bodem B.
5. Sestrojíme rovnoběžky h, i, j a k přímek c a a', které procházejí průsečíky C, D, E a F přímek f a g a kružnice e.
6. Sestrojíme osu úhlu přímek h a i.
7. Sestrojíme náhodnou kolmici m na přímku h.
8. Sestrojíme kružnice n a o se středem v průsečíku G přímek l a m, které se dotýkají přímek k a h.
9. Sestrojíme přímky p a q, které prochází středem H kružnice b' a průsečíky I a J přímek h a i a j a k.
10. Z průsečíků K, L, M a N přímek p a q a kružnic n a o sestrojíme přímky r, s, t a u, které prochází bodem G.
11. Sestrojíme rovnoběžky v, w, x a y přímek r, s, t a u, které procjázejí bodem H.
12. Sestrojíme kružnice k₁ ' a k₂ ', které mají střed v průsečících O a R přímek v a y s přímkou l a vnější dotyk s kružnicí b' a kružnice k₃' a k₄' se středy v průsečících P a Q přímek w a x s přímkou l, které mají vnitřní dotyk s kružnicí b'.
13. Provedeme kruhovou inverzi kružnic k₁ ', k₂ ', k₃ ' a k₄ ' podle kružnice d.
14. Výsledné kružnice k₁, k₂, k₃ a k₄ jsou řešeními.