Dvě protínající se kružnice, třetí leží vně

Postup

1. Zvolíme řídicí kružnici kruhové inverze. Její střed zvolíme v průsečíku zadaných kružnic.
2. V kruhové inverzi zobrazíme zadané objekty. Kružnice procházející středem řídicí kružnice se zobrazí jako přímky.
3. V zobrazení budeme hledat kružnice dotýkající se dvou přímek a kružnice. Kružnice řešení této úlohy budou obrazy řešení původní úlohy. Středy hledaných kružnic budou ležet na ose úhlu daného dvěma přímkami.
4. Dále využijeme čtyři stejnolehlosti, ve kterých se daná kružnice zobrazuje na kružnice řešení. V těchto stejnolehlostech se dané přímky zobrazují jako rovnoběžné tečny dané kružnice.
5. Průsečíky daných přímek se zobrazují na průsečíky tečen. Spojíme je přímkami. Průsečíky těchto přímek s danou kružnicí jsou body, které jsou jednak středy stejnolehlostí a jednak tečnými body dané kružnice s kružnicemi řešení.
6. Střed dané kružnice se ve stejnolehlostech zobrazuje do středů kružnic řešení. Tyto středy proto leží na přímkách procházejících středem dané kružnice a zároveň tečnými body. Středy hledaných kružnic jsou průsečíky těchto přímek s osou úhlu.
7. Nalezli jsme čtyři řešení úlohy v zobrazení.
8. Nalezené kružnice zobrazíme zpět v kruhové inverzi.
9. Úloha má čtyři řešení.

Postup

0. Jsou dány tři kružnice k₁, k₂ a k₃. Dvě z nich se protínají.
1. Úlohu budeme řešit pomocí dilatace. Představíme si řešení, které má s kružnicemi k₁ a k₂ vnější dotyk a s kružnicí k₃ vnitřní dotyk. Pokud se toto řešení v dilataci zmenší tak, aby procházelo středem S₃, budou se obě kružnice k₁ i k₂ zvětšovat o poloměr kružnice k₃. To samé platí i pro řešení, které má s kružnicemi k₁ a k₂ vnitřní dotyk a s kružnicí k₃ dotyk vnější.
2. Dilatací jsme úlohu kkk změnili na úlohu Bkk, kde bodem je bod S₃ a kružnicemi jsou obrazy kružnic k₁ a k₂. Tuto úlohu budeme řešit pomocí kruhové inverze. Jako základní kružnici použijeme k₃ se středem S₃ (použít můžeme jakoukoliv kružnici se středem S₃, tak proč ne třeba k₃).
3. Obrazem dilatovaných řešení jsou společné tečny kružnic "k₁ ''" a "k₂ ''".
4. Nalezené tečny zobrazíme zpět v kruhové inverzi. Získané kružnice jsou dilatovanými obrazy hledaných řešení. Středy S₄ a S₇ jsou již středy hledaných řešení.
5. Obrazy kružnic k₄ a k₇ zvětšíme, respektive zmenšíme, v dilataci o poloměr kružnice k₃. Tím získámě první dvě řešení úlohy.
6. Nalezli jsme dvě řešní úlohy. Nyní postup zopakujeme pro nalezení zbývajících dvou řešení, z nichž jedno má se všemi zadanými kružnicemi vnější dotyk a druhé se všemi vnitřní dotyk.
7. Zatímco v předchozím případě se kružnice k₁ a k₂ obě zvětšovaly, nyní se naopak budou zmenšovat.
8. Dilatované obrazy kružnic k₁ a k₂ zobrazíme v kruhové inverzi s hlavní kružnicí k₃.
9. Nalezneme společné tečny zobrazených kružnic.
10. Nalezené tečny zobrazíme zpět v kruhové inverzi. Jejich obrazy jsou zároveň dilatovanými obrazy hledaných řešení.
11. Kružnici k₅ ' zmenšíme dilatací o poloměr kružnice k₃, kružnici k₆ ' zvětšíme. Tím jsme získali zbývající dvě řešení.
12. Celkově jsme nalezli čtyři řešení úlohy.