Protínající se kružnice, přímka prochází vnitřní společnou oblastí

Postup

1. Zvolíme řídicí kružnici kruhové inverze. Její střed volíme v průsečíku zadaných kružnic.
2. Zadané objekty zobrazíme v kruhové inverzi. Kružnice se zobrazí jako různoběžné přímky, zadaná přímka se zobrazí jako kružnice.
3. Nyní budeme hledat kružnice, které se dotýkají zobrazených objektů – kružnice a dvou přímek. K jejich nalezení využijeme stejnolehlost, konkrétně osm stejnolehlostí, v nichž je daná kružnice obrazem jednotlivých kružnic řešení. Středy těchto stejnolehlostí jsou tečné body mezi kružnicemi. Dané přímky se zobrazují na rovnoběžné tečny kružnice.
4. Průsečík daných přímek se zobrazí na průsečíky tečen. Sestrojíme přímky, které tyto průsečíky spojují. Body, kde tyto přímky protínají kružnici, jsou středy stejnolehlostí – tedy tečné body mezi danou kružnicí a kružnicemi řešení.
5. Sestrojíme přímky procházející nalezenými tečnými body a středem dané kružnice. Tyto přímky zobrazují ve stejnolehlostech střed dané kružnice na středy kružnic řešení.
6. Protože se kružnice řešení mají dotýkat daných přímek, leží jejich středy na osách úhlů daných přímkami. Středy kružnic řešení nalezneme v průsečících této osy a dříve narýsovaných přímek.
7. Nalezli jsme osm řešení úlohy v obraze inverze.
8. Nalezená řešení jsou v kruhové inverzi obrazy kružnic řešení původní úlohy.
9. Úloha má osm řešení.

Postup

1. Středy všech kružnic, které mají s jednou zadanou kružnicí vnější dotyk a s druhou vnitřní dotyk, leží na elipse. Ohniska elipsy jsou středy zadaných kružnic. Elipsa prochází průsečíky obou kružnic.
2. Středy všech kružnic, které mají s oběma zadanými kružnicemi vnější dotyk nebo s oběma vnitřní dotyk, leží na hyperbole. Ohniska hyperboly jsou středy zadaných kružnic. Hyperbola prochází průsečíky obou kružnic.
3. Středy všech kružnic, které se dotýkají zadané kružnice a přímky, která ji protíná, leží na dvojici parabol. Ohniskem parabol je střed zadané kružnice. Řídící přímkou je přímka rovnoběžná se zadanou přímkou. Vzdálenost zadané přímky a její rovnoběžky je rovna poloměru zadané kružnice.
4. Druhá parabola, na které leží středy kružnic dotýkající se kružnice a její sečny, má stejné ohnisko jako předchozí. Řídící přímka leží ve stejné vzdálenosti, ale na opačné straně od zadané přímky.
5. Středy kružnic, které se dotýkají všech tří zadaných objektů leží na průsečícících elipsy, hyperboly a parabol. Některé z průsečíků nejdou středy kružnic řešení. To je v případech, kdy na jedné křivce leží středy kružnic, které mají se zadanou kružnicí vnitřní dotyk, a na druhé ty, které s ní mají vnější dotyk (nebo naopak).
6. Úloha má osm řešení.