Kružnice bez dotyku, přímka je sečnou obou

Postup

1. Zvolíme řídicí kružnici kruhové inverze. Její střed volíme v průsečíku jedné ze zadaných kružnic s přímkou.
2. V kruhové inverzi zobrazíme zadané objekty. Kružnice procházející středem kruhové inverze se zobrazí jako přímka. Zadaná přímka je samodružná.
3. V zobrazení budeme řešit úlohu hledání kružnic dotýkajících se dvou různoběžných přímek a kružnice. Středy hledaných kružnic budou ležet na osách úhlů.
4. Dále budeme pokračovat s využitím stejnolehlosti. Uvažujeme čtyři různé stejnolehlosti. V každé z nich je daná kružnice obrazem jedné z kružnic řešení. Středy těchto stejnolehlostí jsou vždy tečné body dané kružnice a kružnice řešení. Přímky, kterých se mají kružnice řešení dotýkat, se proto zobrazí na rovnoběžné tečny kružnice.
5. Průsečíky přímek a jejich obrazů musí být kolineární se středy stejnolehlosti. Narýsujeme přímky, které je spojují. Průsečíky těchto přímek s danou kružnicí proto jsou středy uvažovaných stejnolehlostí.
6. V těchto stejnolehlostech jsou středy kružnic řešení obrazem středu dané kružnice. Musí proto ležet na přímkách, které procházejí jak středem kružnice a tak středy stejnolehlostí. V průsečících těchto přímek s osami úhlů leží hledané středy.
7. Nalezli jsme čtyři řešení invertované úlohy. Tato řešení jsou obrazy řešení původní úlohy v kruhové inverzi.
8. Nalezené kružnice zobrazíme v kruhové inverzi.
9. Úloha má čtyři řešení.

Postup

1. Středy všech kružnic, které se dotýkají zadané kružnice a její sečny leží na dvojici parabol. Jejich ohniskem je střed zadané kružnice. Řídicími přímkami jsou přímky rovnoběžné se zadanou přímkou. Vzdálenost mezi řídicími přímkami a zadanou přímkou je rovna poloměru zadané kružnice.
2. Druhá dvojice parabol je množinou středů kružnic dotýkajících se druhé zadané kružnice a přímky. Ohniskem parabol je střed druhé kružnice a vzdálenost řídicích přímek a zadané přímky opět odpovídá poloměru zadané kružnice.
3. Středy kružnic řešení leží v průsečících těchto parabol.
4. Úloha má čtyři řešení.