Různoběžné přímky, kružnice s jedním dotykem

Postup

1. Středy hledaných kružnic musí ležet na osách úhlů svíraných přímkami.
2. Dvě kružnice řešení se budou zadané kružnice dotýkat v bodě, ve kterém se jí dotýká také jedna ze zadaných přímek. Jejich středy budou ležet na kolmici k přímce procházející tímto tečným bodem.
3. Středy dvou kružnic řešení leží na průsečících kolmice a os úhlů.
4. Zbylé dva středy musí ležet na parabole, na které leží všechny středy kružnic dotýkajících se zadané kružnice a její tečny mimo jejich společný tečný bod. Ohniskem této paraboly je střed kružnice. Řídící přímkou je přímka rovnoběžná se zadanou tečnou. Vzdálenost obou rovnoběžek je rovna poloměru zadané kružnice.
5. Středy zbylých dvou kružnic řešení leží na průsečíku osy úhlu a paraboly.
6. Úloha má čtyři řešení.

Postup

1. Nejprve budeme hledat dvě kružnice řešení, které se dotýkají zadané kružnice a její tečny v jejich společném tečném bodě. Pokud budeme zadanou kružnici dilatovat do jejího středu, posunou se obě zadané přímky o její poloměr.
2. Dilatací jsme úlohu změnili na úlohu se dvěmi různoběžnými přímkami a bodem, který leží na jedné z nich. Tuto úlohu budeme řešit pomocí množin bodů daných vlastností. Středy kružnic dotýkajících se dilatovaných přímek leží na osách úhlů daných těmito přímkami.
3. Středy kružnic dotýkajících se dilatované přímky v bodě S leží na kolmici procházející tímto bodem.
4. Středy kružnic řešení leží na průsečících os úhlů a kolmice.
5. Nalezli jsme první dvě řešení.
6. Pokračovat budeme hledáním dvou kružnic řešení, které leží oproti zadané tečně na stejné polorovině jako zadaná kružnice a mají se zadanou kružnicí vnější dotyk. Pokud budeme zadanou kružnici dilatovat do jejího středu, posunou se obě zadané přímky o její poloměr. Tentokrát však na opačnou stranu.
7. Středy hledaných kružnic budou ležet na ose úhlu daného přímkami.
8. Pokračovat budeme s využitím stejnolehlosti. Narýsujeme náhodnou kružnici, která má střed na ose a dotýká se dilatovaných přímek. Tato kružnice je stejnolehlá s kružnicemi řešení dilatované úlohy. Středem stejnolehlosti je průsečík dilatovaných přímek.
9. V této stejnolehlosti se zobrazuje bod S do tečných bodů. Ty proto musí ležet na přímce, která prochází bodem S a zároveň středem stejnolehlosti.
10. Nalezené obrazy bodu S spojíme s obrazem středů kružnic.
11. Protože stejnolehlost zachovává rovnoběžnost, leží středy hledaných kružnic na rovnoběžkách s nalezenými spojnicemi procházejícími bodem S. Středy kružnic nalezneme na průsečících těchto rovnoběžek s osou úhlu.
12. Nalezli jsme zbývající dvě řešení.
13. Úloha má čtyři řešení.

Postup

1. Jsou dány dvě různoběžné přímky a kružnice dotýkající se jedné z nich.
2. Narýsujeme kolmice na zadané přímky procházející středem zadané kružnice a vyznačíme čtyři průsečíky.
3. Narýsujeme tečny kružnice rovnoběžné na zadané přímky procházející průsečíky z minulého kroku. Vyznačíme si čtyři nové průsečíky těchto přímek.
4. Narýsujeme osu úhlu mezi zadanými přímkami. Poté narýsujeme přímku procházející průsečíkem K a průsečíkem zadaných přímek. Vyznačíme si dva průsečíky této nové přímky se zadanou kružnicí.
5. Narýsujeme dvě přímky procházející průsečíky z minulého kroku. Vyznačíme si průsečíky (S1 a S2) těchto přímek s osou úhlu.
6. Narýsujeme dvě kružnice dané středem a bodem. Se středem v S1 a S2 a body O a N. Střed obou kružnic se nachází na stejné přímce z kroku 4.
7. Narýsujeme kolmici na osu úhlu zadaných přímek, která prochází průsečíkem zadaných přímek. Využijeme kolmici na zadanou přímku, která prochází středem zadané kružnice. Ta se protne s touto novou přímkou v bodeě S3. Narýsujeme kružnici se středem v S3 danou bodem B.
8. Vyznačíme průsečík kolmice na zadanou přímku, která prochází středem zadané kružnice, a osy úhlu zadaných přímek. Narýsujeme kružnici se středem v tomto bodě S4 a dabou bodem B.
9. Úloha má čtyři řešení.