Různoběžné přímky, jedna je tečnou a druhá sečnou

Postup

1. Středy hledaných kružnic musí ležet na osách úhlů svíraných přímkami.
2. Dvě kružnice řešení se budou zadané kružnice dotýkat v bodě, ve kterém se jí dotýká také jedna ze zadaných přímek. Jejich středy budou ležet na kolmici k přímce procházející tímto tečným bodem.
3. Středy dvou kružnic řešení leží na průsečících kolmice a os úhlů.
4. Zbylé středy najdeme pomocí dilatace. Pokud budeme dilatovat zadanou kružnici do jejího středu, budou se zbylé kružnice řešení zvětšovat. Jejich tečny se pak posunou o poloměr zadané kružnice. Úlohu jsme tím změnili na úlohu pro dvě různoběžné přímky a bod.
5. Řešíme úlohu pro dvě různoběžné přímky a bod (Například s využitím stejnolehlosti). Nalezené středy kružnic této úlohy jsou rovněž středy kružnic řešení původní úlohy.
6. Nalezli jsme další dvě řešení.
7. Zbývající dvě řešení budeme hledat pomocí dilatace, při které se tečna posune stejným směrem jako v předchozím případě, sečna se posune na opačnou stranu.
8. Řešíme úlohu pro dvě různoběžné přímky a bod.
9. Nalezené dva středy jsou středy zbylých dvou kružnic řešení.
10. Úloha má šest řešení.

Postup

1. Středy hledaných kružnic musí ležet na osách úhlů svíraných přímkami.
2. Dvě kružnice řešení se budou zadané kružnice dotýkat v bodě, ve kterém se jí dotýká také jedna ze zadaných přímek. Jejich středy budou ležet na kolmici k přímce procházející tímto tečným bodem.
3. Středy dvou kružnic řešení leží na průsečících kolmice a os úhlů.
4. Zbylé čtyři středy musí ležet na parabole, na které leží všechny středy kružnic dotýkajících se zadané kružnice a její tečny mimo jejich společný tečný bod. Ohniskem této paraboly je střed kružnice. Řídící přímkou je přímka rovnoběžná se zadanou tečnou. Vzdálenost obou rovnoběžek je rovna poloměru zadané kružnice.
5. Středy zbylých kružnic řešení leží na průsečíku os úhlů a paraboly.
6. Úloha má šest řešení.

Postup

0. Ke konstrukci prvních dvou řešení použijeme množiny bodů daných vlastností.
1. Středy hledaných kružnic musí ležet na osách úhlů zadaných přímek.
2. Musí rovněž ležet na kolmici k jedné z přímek vedené z tečného bodu T. Kolmice prochází tečným bodem.
3. Nalezneme dvě řešení, která se dotýkají jedné ze zadaných přímek a zadané kružnice ve společném tečném bodě.
4. K nalezení dalších řešení využijeme stejnolehlost, ve které se se řešení zobrazuje do zadané kružnice. Středem stejnolehlosti jsou body dotyku zadané kružnice a kružnice řešení. Zadané přímky jsou tečny kružnice řešení, ve stejnolehlosti se proto zobrazí jako tečny. Průsečík přímek se zobrazí do průsečíku. Střed stejnolehlosti, tj. zároveň tečný bod kružnic, musí ležet na spojnici těchto průsečíků. Tím můžeme tečný bod nalézt.
5. K nalezení dalších řešení využiji stejnolehlost, ve které se se řešení zobrazuje do zadané kružnice. Středem stejnolehlosti jsou body dotyku zadané kružnice a kružnice řešení. Zadané přímky jsou tečny kružnice řešení, ve stejnolehlosti se proto zobrazí jako tečny. Průsečík přímek se zobrazí do průsečíku. Střed stejnolehlosti, tj. zároveň tečný bod kružnic, musí ležet na spojnici těchto průsečíků. Tím můžeme tečný bod nalézt.
6. Ve stejnolehlosti se zadané přímky zobrazují jako tečny zadané kružnice. Tečné body jsou středy stejnolehlostí, musí proto ležet na spojnici průsečíku P a jeho obrazu.
7. Střed zadané kružnice se ve stejnolehlosti zobrazuje do středů kružnic řešení. Vzor a obraz středu kružnice musí vždy ležet na jedné přímce s tečným bodem, který je středem stejnolehlosti.
8. Středy kružnic řešení musí rovněž ležet na ose úhlu zadaných přímek.
9. Nalezli jsme další dvě řešení úlohy.
10. Pro nalezení zbývajících dvou řešení úlohy opět použijeme stejnolehlost. Jedna ze zadaných přímek se však tentokrát bude zobrazovat na opačnou stranu zadané kružnice.
11. Tečné body, které jsou středy stejnolehlosti, leží na spojnici průsečíku přímek P a jeho obrazu.
12. Protože jsou tečné body středy stejnolehlostí, musí střed zadané kružnice a kružnic řešení s nimi ležet na jedné přímce.
13. Středy kružnic řešení musí rovněž ležet na ose úhlu zadaných přímek.
14. Tím jsme nalezli zbývající dvě řešení úlohy. Poloměr kružnic je dán vzdáleností středů od tečných bodů.
15. Úloha má šest řešení.