Různoběžné přímky, kružnice mimo

Postup

1. Všechny středy kružni dotýkajících se obou zadaných přímek leží na osách jejich úhlů.
2. Středy kružnic dotýkajících se přímky a kružnice leží na dvojici parabol, kde ohniskem je střed kružnice a řídící přímky jsou rovnoběžky se zadanou přímkou. Tyto rovnoběžky jsou od zadané přímky ve vzdálenosti rovné poloměru zadané kružnice.
3. Středy hledaných kružnic leží na průsečících parabol a os úhlů.
4. Úloha má čtyři řešení.

Postup

dvě různoběžné přímky a kružnice bez dotyku

1. Narýsujeme si osu úhlu zadaných přímek. Zobrazíme si střed zadané kružnice v osové souměrnosti přes osu úhlu. Oba body propojíme přímkou.
2. Zjistíme poloměr zadané kružnice a narýsujeme kružnici se stejným poloměrem kdekoliv na jedné ze zadaných přímek.
3. Narýsujeme dvě přímky, které jsou rovnoběžné s touto zadanou přímkou z zároveň jsou tečnami této nové kružnice.
4. Narýsujeme kružnici danou třemi body. Středem zadané kružnice, zrcadleným středem zadané kružnice a libovolným třetím bodem. Vyznačíme si průsečík jedné z dvou tečen z kroku 3 a přímkou z kroku 1, která prochází středem zadané kružnice.
5. Narýsujeme dvě přímky, které vedou průsečíkem z minulého kroku a jsou tečnami kružnice z minulého kroku. Vyznačíme si průsečíky těchto přímek s kružnicí.
6. Narýsujeme kružnici danou třemi body. Jedním je průsečík z kroku 4 a dva zbylé jsou průsečíky z minulého kroku.
7. Poté narýsujeme kružnici se středem v průsečíku z kroku 4 a danou jedním z průsečíků z kroku 5. Vyznačíme si dva průsečíky této kružnice s přímkou z kroku 3.
8. Narýsujeme přímku, která je kolmá na zadanou přímku a prochází jedním z průsečíků z minulého kroku. Poté zopakujeme tento postup, ale použijeme druhý z průsečíků. Vyznačíme si průsečíky těchto přímek se zadanou přímkou a osou úhlu zadaných přímek.
9. Narýsujeme dvě kružnice dané středem a bodem. Středy jsou v těchto průsečících na ose úhlu z kroku 8 a body jsou průsečíky na zadané přímce z minulého kroku.
10. Nyní si budeme zabývat druhou z tečen z kroku 3. Postup je stejný. Najdeme si její průsečík s přímkou, která prochází středem zadané kružnice a zrcadleným středem zadané kružnice.
11. Narýsujeme dvě tečny na kružnici z kroku 4, které procházejí průsečíkem z minulého kroku. Vyznačíme si průsečíky těchto přímek s kružnicí z kroku 4.
12. Narýsujeme kružnici danou třemi body. Dva z nich jsou průsečíky z minulého kroku a posledním je průsečík z kroku 10. Poté narýsujeme kružnici se středem v průsečíku z kroku 10 a danou jedním z průsečíků z kroku 11. Vyznačíme si dva průsečíky této kružnice s přímkou z kroku 3.
13. Narýsujeme přímku, která je kolmá na zadanou přímku a prochází jedním z průsečíků z minulého kroku. Poté zopakujeme tento postup, ale použijeme druhý z průsečíků. Vyznačíme si průsečíky těchto přímek se zadanou přímkou a osou úhlu zadaných přímek.
14. Narýsujeme dvě kružnice dané středem a bodem. Středy jsou v těchto průsečících na ose úhlu z minulého kroku a body jsou průsečíky na zadané přímce z minulého kroku.

Postup

1. Nejprve budeme hledat kružnice, které mají se zadanou kružnicí vnější dotyk. Při dilataci zadané kružnice do jejího středu se kružnice řešení zvětší o poloměr zadané kružnice. Zadané přímky se proto posunou o poloměr zadané kružnice směrem od ní.
2. Tím jsme úlohu změnili na řešení úlohy pro dvě přímky a bod. Vyřešíme ji třeba pomocí kruhové inverze (Podrobněji a další způsoby řešení zde: https://apollonea.cz/cs/bpp/ruznobezne-primky-bod-lezi-mimo-ne/).
3. Středy nalezených kružnic jsou již středy řešení. Nalezené kružnice zmenšíme o poloměr zadané kružnice a tím jsme nalezli první dvě řešení.
4. Nyní budeme hledat kružnice, které mají se zadanou kružnicí vnitřní dotyk. Při dilataci zadané kružnice do jejího středu se kružnice řešení zmenší o poloměr zadané kružnice. Zadané přímky se proto posunou o poloměr zadané kružnice směrem k ní.
5. Opět jsme úlohu změnili na řešení úlohy pro dvě přímky a bod. Nalezneme řešení této úlohy pomocí kruhové inverze.
6. Středy nalezených kružnic jsou středy řešení. Nalezené kružnice zvětšíme o poloměr zadané kružnice a tím jsme nalezli druhou dvojici řešení.
7. Úloha má čtyři řešení.

Postup

dvě různoběžné přímky a kružnice bez dotyku

1. Narýsujeme kolmice na zadané přímky procházející středem zadané kružnice a vyznačíme čtyři průsečíky.
2. Narýsujeme čtyři přímky rovnoběžné na zadané přímky procházející průsečíky z minulého kroku.
3. Vyznačíme si čtyři nové průsečíky těchto přímek a narýsujeme osu úhlu mezi zadanými přímkami.
4. Narýsujeme dvě přímky procházející průsečíkem zadaných přímek a průsečíky L a N. Vyznačíme průsečíky těchto nových přímek se zadanou kružnicí.
5. Narýsujeme přímky procházející středem zadané kružnice a jedním z těchto nových průsečíků. Opakujeme pro každý z čtyř průsečíků.
6. Vyznačíme si průsečíky těchto nových přímek s osou úhlu zadaných přímek.
7. Narýsujeme kružnici danou bodem a středem. Střed se nachází v průsečících z minulého kroku. Jako bod slouží průsečíky na kružnici z kroku 5. Bod a střed každé z čtyř kružnic se nachází na stejné přímce z kroku 6.