Různoběžné přímky, jedna přímka protíná kružnici

Postup

1. Všechny středy kružni dotýkajících se obou zadaných přímek leží na osách jejich úhlů.
2. Středy kružnic dotýkajících se přímky a kružnice leží na dvojici parabol, kde ohniskem je střed kružnice a řídící přímky jsou rovnoběžky se zadanou přímkou. Tyto rovnoběžky jsou od zadané přímky ve vzdálenosti rovné poloměru zadané kružnice.
3. Středy hledaných kružnic leží na průsečících parabol a os úhlů.
4. Úloha má čtyři řešení.

Postup

1. Nejprve budeme hledat první dvojici kružnic, které leží na jedné polorovině od zadané sečny. Při dilataci zadané kružnice do jejího středu se kružnice řešení zvětší o poloměr zadané kružnice. Zadané přímky se proto posunou o poloměr zadané kružnice.
2. Tím jsme úlohu změnili na řešení úlohy pro dvě přímky a bod. Vyřešíme ji třeba pomocí kruhové inverze (Podrobněji a další způsoby řešení zde: https://apollonea.cz/cs/bpp/ruznobezne-primky-bod-lezi-mimo-ne/).
3. Středy nalezených kružnic jsou již středy řešení. Nalezené kružnice zmenšíme o poloměr zadané kružnice a tím jsme nalezli první dvě řešení.
4. Nyní budeme hledat kružnice na opačné polorovině od zadané sečny. Při dilataci zadané kružnice do jejího středu se kružnice řešení opět zvětší o poloměr zadané kružnice a zadané přímky se proto také o tento poloměr posunou.
5. Opět jsme úlohu změnili na řešení úlohy pro dvě přímky a bod. Nalezneme řešení této úlohy pomocí kruhové inverze.
6. Středy nalezených kružnic jsou středy řešení. Nalezené kružnice zmenšíme o poloměr zadané kružnice a tím jsme nalezli druhou dvojici řešení.
7. Úloha má čtyři řešení.

Postup

1. Vytvoříme osy úhlů. Na nich budou ležet středy výsledných kružnic.
2. Vytvoříme tečny kružnice, které budou rovnoběžné s přímkami ze zadání. Jednu z tečen nepotřebujeme.
3. Vytvoříme dvě přímky, které procházejí průnikem přímek ze zadání a průnikem tečen.
4. V místech, kde tyto přímky protínají zadanou kružnici, se nacházejí středy stejnolehlosti.
5. Vytvoříme přímky, které procházejí ze středu zadané kružnice do středů stejnolehlosti. Na průsečících těchto přímek s osami úhlů leží středy výsledných kružnic. Pozor, přímka sice protíná obě osy, nicméně středy kružnic jsou pouze směrem od středu k bodu stejnolehlosti.
6. Narýsujeme kružnice ze středů nalezených v předchozím kroku, jejichž poloměr bude mít vzdálenost od středu kružnic do středů stejnolehlosti.